수학적 논리력과 rigor에 대해 이해하기 위해... Abott 책 읽으면서(하루에 2페이지) 공부 및 정리 중입니다... ㅎㅎ
개인 정리 용도임으로 자세한 내용은 교재 등을 참고 바랍니다.
- Hardy라는 사람은 말년에 A Mathematician's Apology라는 에세이를 한 편 남겼다.
- 거기서 그는 '수학의 아름다움'에 대해 언급하면서, sqrt(2)가 무리수(irrational)하다는 피타고라스파의 B.C. 500년의 중명에 대해 말한다.
Theorem) 제곱근의 값이 2인 유리수는 존재하지 않는다.
- 이 Theorem은 다음과 같이 증명할 수 있는데, 이 때 귀류법(proof by contradiction)이라는 방법을 사용한다.
- 귀류법은 명제가 참이라 가정하고 논리를 쭉 이어나가다가, 결국에는 말이 안 된다는 걸 입증함으로서, 결론적으로 명제가 거짓이라는 걸 증명하는 방법이다.
- 먼저 중딩 때 배웠던 유리수에 대해 잠깐 짚고 넘어가자면...
- 유리수란 두 정수 p,q의 비율로 나타낼 수 있는 숫자, p/q다.
- 결국, 이 명제는 이렇게 말할 수도 있다.
- p와 q가 어떤 정수이던간에, 절대로 (p/q)^2 = 2가 될 수 없다.
- 그렇다면, 귀류법에 따라서 "제곱하여 2가 되는 유리수가 존재한다"고 가정하고 시작해보자.
- 곧,
(p/q)^2 = 2 --- (1)
이다. - 또한, p와 q의 공통분모가 없다고 가정하자. 어차피 공통분모가 있어도 cancel out하면 그만이다.
- 곧,
- 이 때, (1)은 약간 정리하면 다음을 의미함을 알 수 있다.
p^2 = 2q^2 --- (2) - 이는 무엇을 말하는가? 좌항의 p^2가 2로 나눌 수 있으므로 짝수라는 뜻이다.
- 그렇다면 p 또한 짝수일 것이다.
- 만약 p가 홀수라면, 제곱한 p^2도 홀수였을 것이고 2로 나눌 수 없을 것이다.
- 그렇다면 p = 2r로 표현할 수 있다. r은 다른 정수다. 곧 2로 나눠지는 다른 정수이니 짝수다.
- 이 때 수식을 다시 써 보면...
2^2 * r^2 = 2q^2
2r^2 = q^2
- 하지만 이는 조금만 생각해보면 말이 안 된다. 왜냐하면 동일한 로직에 따라 q 또한 짝수라는 것이다.
- 그렇다면 p와 q 둘 다 짝수라는 말인데, 그렇다면 공통분모가 최소한 2 하나는 있어야 한다.
하지만 우리는 위에서 두 정수 p,q가 공통분모가 없다고 가정했다. - 하지만 이는 조금만 생각해보면 말이 안 된다. 왜냐하면 동일한 로직에 따라 q 또한 짝수라는 것이다.
- 결론적으로 "제곱하여 2가 되는 유리수가 존재한다"는 가정은 성립할 수 없고,
따라서 제곱근의 값이 2인 유리수는 존재하지 않는다. 곧, sqrt(2)는 무리수이다. - 다음 글에서는 이 증명의 significance에 대해 정리하겠다.